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数据结构 - 5(二叉树7000字详解)

一:二叉树的基本概念

1.1树形结构

树是一种非线性的数据结构,它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。



注意:树形结构中,子树之间不能有交集,否则就不是树形结构

1.2 数的相关概念

  • 结点的度:一个结点含有子树的个数称为该结点的度; 如上图:A的度为6
  • 树的度:一棵树中,所有结点度的最大值称为树的度; 如上图:树的度为6
  • 叶子结点或终端结点:度为0的结点称为叶结点; 如上图:B、C、H、I…等节点为叶结点
  • 双亲结点或父结点:若一个结点含有子结点,则这个结点称为其子结点的父结点; 如上图:A是B的父结点
  • 孩子结点或子结点:一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点; 如上图:B是A的孩子结点
  • 根结点:一棵树中,没有双亲结点的结点;如上图:A
  • 结点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子结点为第2层,以此类推
  • 树的高度或深度:树中结点的最大层次; 如上图:树的高度为4

树的以下概念只需了解,在看书时只要知道是什么意思即可:

  • 非终端结点或分支结点:度不为0的结点; 如上图:D、E、F、G…等节点为分支结点
  • 兄弟结点:具有相同父结点的结点互称为兄弟结点; 如上图:B、C是兄弟结点
  • 堂兄弟结点:双亲在同一层的结点互为堂兄弟;如上图:H、I互为兄弟结点
  • 结点的祖先:从根到该结点所经分支上的所有结点;如上图:A是所有结点的祖先
  • 子孙:以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图:所有结点都是A的子孙
  • 森林:由m(m>=0)棵互不相交的树组成的集合称为森林

1.3 树的表现形式

树结构相对线性表就比较复杂了,要存储表示起来就比较麻烦了,实际中树有很多种表示方式,如:双亲表示法,孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

class Node {
  int value; // 树中存储的数据
  Node firstChild; // 第一个孩子引用
  Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

1.4树的应用

文件系统管理(目录和文件)

1.5 二叉树

二叉树是一种常见的树状数据结构,它由节点和边组成。每个节点最多有两个子节点,分别称为左子节点和右子节点。二叉树具有以下特点:

  1. 二叉树不存在度大于2的结点
  2. 二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒,因此二叉树是有序树

如下图所示:

注意:对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的:

大自然的奇观:

1.6 两种特殊的二叉树

  1. 满二叉树:满二叉树是指每个节点都有两个子节点(除了叶子节点)。换句话说,满二叉树是一种节点数目达到最大可能值的二叉树。例如,如果一棵二叉树的深度为d,那么它的节点数目就是2^d - 1。

  2. 完全二叉树:完全二叉树是指除了最后一层外,其他层的节点都被完全填充,并且最后一层的节点都尽量靠左排列的二叉树。换句话说,完全二叉树是在满二叉树的基础上,去掉一些叶子节点而得到的二叉树。

如图所示:

1.7 二叉树的重要性质

  1. 性质一:叶子结点的个数是度为2结点的个数+1

要理解为什么对任何一棵二叉树,其叶结点个数为 n0,度为2的非叶结点个数为 n2,有 n0 = n2 + 1,我们首先需要了解二叉树的定义和性质。

二叉树是一种特殊的树结构,每个节点最多有两个子节点,分别称为左子节点和右子节点。叶节点是没有子节点的节点,而度为2的非叶节点是具有两个子节点的非叶节点。

让我们来证明这个等式 n0 = n2 + 1 :

  1. 首先,我们将二叉树的节点按照度的数量进行分类。由于二叉树的节点度数只有0、1、2三种情况,我们可以得出以下等式:n = n0 + n1 + n2,其中 n 表示二叉树的总节点数。

  2. 其次,我们来考虑度为0的节点,也就是叶节点。叶节点是没有子节点的节点,所以它的度为0。假设叶节点的个数为 n0。

  3. 然后,我们考虑度为2的非叶节点,也就是具有两个子节点的非叶节点。假设度为2的非叶节点的个数为 n2。

  4. 根据二叉树的性质,每个非叶节点都会有两个子节点。所以,度为2的非叶节点的总子节点个数为 2 * n2。

  5. 接下来,我们来看看二叉树的总子节点个数。根据节点分类的等式,可以得出总子节点个数为 n1 + 2 * n2。其中 n1 表示度为1的节点的个数。

  6. 由于每个节点都有两个子节点,所以总子节点个数应该等于 n - 1(根节点除外)。因此,我们可以得到以下等式:n1 + 2 * n2 = n - 1。

  7. 最后,我们将以上的等式整合起来,得到 n0 + n1 + n2 = n。将 n1 + 2 * n2 = n - 1 代入其中,得到 n0 + (n - 1) = n,即 n0 = n2 + 1。

根据上述推导,我们可以得出结论:对于任何一棵二叉树,其叶结点个数为 n0,度为2的非叶结点个数为 n2,有 n0 = n2 + 1。即叶子结点的个数是度为2结点的个数+1,这是二叉树性质的一个重要结论。

  1. 性质二:具有n个结点的完全二叉树的深度k为 上取整

  2. 性质三:对于具有n个结点的完全二叉树,如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号,则对于序号为i的结点有:

  • 若2i+1
  • 若2i+2

  1. 性质四:我们可以根据array.length-2)>>1计算倒数第一个非叶子节点的索引

二:二叉树的遍历,存储和实现

2.1 二叉树的遍历

二叉树的遍历方式有四种,分别是前序遍历,中序遍历,后序遍历和层序遍历,这是我们约定俗成的规定。

前序遍历(Preorder Traversal)是一种遍历二叉树的方法。在前序遍历中,我们首先访问根节点,然后遍历左子树,最后遍历右子树。具体过程如下:

  1. 访问当前节点(根节点)。
  2. 递归地前序遍历左子树。
  3. 递归地前序遍历右子树。

下面是一个例子来说明前序遍历:

      1
     / \
    2   3
   / \
  4   5

前序遍历结果:1 2 4 5 3

中序遍历(Inorder Traversal)是另一种遍历二叉树的方法。在中序遍历中,我们首先遍历左子树,然后访问根节点,最后遍历右子树。具体过程如下:

  1. 递归地中序遍历左子树。
  2. 访问当前节点(根节点)。
  3. 递归地中序遍历右子树。

下面是一个例子来说明中序遍历:

      1
     / \
    2   3
   / \
  4   5

中序遍历结果:4 2 5 1 3

后序遍历(Postorder Traversal)是另一种遍历二叉树的方法。在后序遍历中,我们首先遍历左子树,然后遍历右子树,最后访问根节点。具体过程如下:

  1. 递归地后序遍历左子树。
  2. 递归地后序遍历右子树。
  3. 访问当前节点(根节点)。

下面是一个例子来说明后序遍历:

      1
     / \
    2   3
   / \
  4   5

后序遍历结果:4 5 2 3 1

层序遍历:除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外,还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1,层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发,首先访问第一层的树根节点,然后从左到右访问第2层上的节点,接着是第三层的节点,以此类推,自上而下,自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。


这个图的层序遍历结果就是ABCDEFGHI

下面是一个练习,请同学们根据下图,给出以下二叉树的四种遍历方式:

前序遍历:ABDEHCFG
中序遍历:DBEHAFCG
后序遍历:DHEBFGCA
层序遍历:ABCDEFGH

2.2二叉树的存储

二叉树的存储结构分为:顺序存储和类似于链表的链式存储。顺序存储在下节介绍。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的,常见的表示方式有二叉和三叉表示方式,具体如下:

// 孩子表示法
class Node {
  int val; // 数据域
  Node left; // 左孩子的引用,常常代表左孩子为根的整棵左子树
  Node right; // 右孩子的引用,常常代表右孩子为根的整棵右子树
}

// 孩子双亲表示法
class Node {
  int val; // 数据域
  Node left; // 左孩子的引用,常常代表左孩子为根的整棵左子树
  Node right; // 右孩子的引用,常常代表右孩子为根的整棵右子树
  Node parent;   // 当前节点的根节点
}

本文采用孩子表示法来构建二叉树。

2.3二叉树的实现

在Java中,并没有内置的二叉树类。但是,我们可以通过自定义类来实现二叉树的功能。下面是模拟实现二叉树并给出主方法进行测试的代码:


import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;

// 定义二叉树节点类
class Node {
    int data;
    Node left;
    Node right;

    // 节点构造函数
    public Node(int data) {
        this.data = data;
        left = null;
        right = null;
    }
}

// 定义二叉树类
class BinaryTree {
    Node root;

    // 构造函数,初始化根节点
    public BinaryTree() {
        root = null;
    }

    // 获取树中节点的个数
    public int size(Node root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        } else {
            // 递归地计算左子树和右子树节点个数,并加上根节点
            return 1 + size(root.left) + size(root.right);
        }
    }

    // 获取叶子节点的个数
    public int getLeafNodeCount(Node root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        } else if (root.left == null && root.right == null) {
            // 叶子节点的定义:左右子节点都为空
            return 1;
        } else {
            // 递归地计算左子树和右子树叶子节点个数,并相加
            return getLeafNodeCount(root.left) + getLeafNodeCount(root.right);
        }
    }

    // 获取第K层节点的个数
    public int getKLevelNodeCount(Node root, int k) {
        if (root == null || k <= 0) {
            return 0;
        } else if (k == 1) {
            // 第1层就是根节点本身
            return 1;
        } else {
            // 递归地计算左子树和右子树第k-1层节点个数,并相加
            return getKLevelNodeCount(root.left, k - 1) + getKLevelNodeCount(root.right, k - 1);
        }
    }

    // 获取二叉树的高度
    public int getHeight(Node root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        } else {
            // 递归地计算左子树和右子树的高度,并取最大值,再加上根节点
            int leftHeight = getHeight(root.left);
            int rightHeight = getHeight(root.right);
            return Math.max(leftHeight, rightHeight) + 1;
        }
    }

    // 检测值为value的元素是否存在
    public Node find(Node root, int val) {
        if (root == null) {
            return null;
        } else if (root.data == val) {
            // 找到了与目标值相等的节点
            return root;
        } else {
            // 递归地在左子树和右子树中查找值为val的节点
            Node foundNode = find(root.left, val);
            if (foundNode == null) {
                foundNode = find(root.right, val);
            }
            return foundNode;
        }
    }

    // 层序遍历
    public void levelOrder(Node root) {
        if (root == null) {
            return;
        }
        // 使用队列辅助层序遍历
        Queue<Node> queue = new LinkedList<>();
        queue.add(root);
        while (!queue.isEmpty()) {
            Node current = queue.poll();
            System.out.print(current.data + " ");
            if (current.left != null) {
                queue.add(current.left);
            }
            if (current.right != null) {
                queue.add(current.right);
            }
        }
    }

    // 判断一棵树是不是完全二叉树
    public boolean isCompleteTree(Node root) {
        if (root == null) {
            return true;
        }
        Queue<Node> queue = new LinkedList<>();
        boolean isNonFullNodeFound = false; // 是否找到了不是满节点的节点
        queue.add(root);
        while (!queue.isEmpty()) {
            Node current = queue.poll();
            if (current.left != null) {
                if (isNonFullNodeFound) {
                    return false; // 如果之前找到了不是满节点的节点,当前节点有左子节点,则不是完全二叉树
                }
                queue.add(current.left);
            } else {
                isNonFullNodeFound = true; // 记录找到了不是满节点的节点
            }
            if (current.right != null) {
                if (isNonFullNodeFound) {
                    return false; // 如果之前找到了不是满节点的节点,当前节点有右子节点,则不是完全二叉树
                }
                queue.add(current.right);
            } else {
                isNonFullNodeFound = true; // 记录找到了不是满节点的节点
            }
        }
        return true;
    }
}



下面再给出主方法用于测试这些方法的功能:

import java.util.Arrays;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        // 创建一个示例二叉树
        Node root = new Node(1);
        root.left = new Node(2);
        root.right = new Node(3);
        root.left.left = new Node(4);
        root.left.right = new Node(5);
        root.right.left = new Node(6);
        root.right.right = new Node(7);

        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        
        // 测试 size 方法
        System.out.println("树中节点的个数:" + binaryTree.size(root)); // 7
        
        // 测试 getLeafNodeCount 方法
        System.out.println("叶子节点的个数:" + binaryTree.getLeafNodeCount(root)); // 4
        
        // 测试 getKLevelNodeCount 方法
        int k = 3;
        System.out.println("第" + k + "层节点的个数:" + binaryTree.getKLevelNodeCount(root, k)); // 2
        
        // 测试 getHeight 方法
        System.out.println("二叉树的高度:" + binaryTree.getHeight(root)); // 3
        
        // 测试 find 方法
        int target = 5;
        Node foundNode = binaryTree.find(root, target);
        if (foundNode != null) {
            System.out.println("找到值为" + target + "的节点");
        } else {
            System.out.println("未找到值为" + target + "的节点");
        }
        
        // 测试 levelOrder 方法
        System.out.print("层序遍历结果:");
        binaryTree.levelOrder(root); // 1 2 3 4 5 6 7
        System.out.println();
        
        // 测试 isCompleteTree 方法
        System.out.print("是否是完全二叉树:");
        if (binaryTree.isCompleteTree(root)) {
            System.out.println("是");
        } else {
            System.out.println("否");
        }
    }
}